Salut les jeunes matheux ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant des vecteurs en seconde. Si tu te demandes ce que c'est, comment ça marche, et pourquoi on en fait, t'es au bon endroit. Accroche-toi, car on va décortiquer tout ça ensemble de manière super simple. Les vecteurs, c'est un peu comme des flèches mathématiques qui te disent non seulement où aller, mais aussi combien de distance parcourir et dans quelle direction. Pense à un jeu vidéo : quand ton personnage bouge, il le fait avec une direction et une vitesse. C'est exactement ça, un vecteur en action ! On va voir comment on les représente, comment on les additionne, comment on les soustrait, et même comment on les multiplie par un nombre. C'est un outil hyper puissant en maths, qui te servira non seulement en première et terminale, mais aussi dans plein d'autres domaines comme la physique (pour parler de vitesse, de force...) ou même en infographie pour déplacer des objets à l'écran. Alors, prêt à devenir un pro des vecteurs ? C'est parti !

C'est quoi un Vecteur, au juste ?

Alors les gars, pour commencer, c'est quoi un vecteur en maths ? Imagine que tu veux aller de ton point A à ton point B. Tu peux y aller en ligne droite, n'est-ce pas ? Eh bien, cette ligne droite avec une direction et une longueur bien précises, c'est un vecteur ! En gros, un vecteur, c'est un segment de droite orienté. Il a trois caractéristiques principales : une direction (la droite sur laquelle il repose), un sens (l'une des deux directions possibles sur cette droite) et une norme (sa longueur). On le note souvent avec une petite flèche au-dessus, genre $\vec{AB}$. Le A, c'est le point de départ (on appelle ça l'origine), et le B, c'est le point d'arrivée (on appelle ça l'extrémité). Mais attention, ce n'est pas juste la distance entre A et B. C'est le déplacement de A vers B. Donc, le vecteur qui va de A à B, $\vec{AB}$, n'est pas le même que le vecteur qui va de B à A, $\vec{BA}$. Ils ont la même direction et la même norme (longueur), mais leur sens est opposé. C'est comme si tu allais d'une ville à une autre, puis que tu faisais le chemin inverse. Le trajet est le même en longueur, mais la direction est inversée. On peut aussi avoir des vecteurs qui n'ont pas d'origine ou d'extrémité précises, mais qui décrivent juste une direction et une longueur. Par exemple, dans un exercice, on pourrait te dire : "trace un vecteur de longueur 5 et de direction parallèle à la droite (d)". Là, tu as toute liberté pour le placer où tu veux, tant qu'il respecte ces deux conditions. Comprendre ça, c'est la base de tout. Les vecteurs te permettent de décrire des mouvements, des forces, des positions relatives, et plein d'autres trucs super utiles. Ne t'inquiète pas si ça te semble un peu abstrait au début, avec un peu de pratique, ça va devenir une seconde nature. On va voir comment on les dessine et comment on les manipule.

Représenter un Vecteur dans le Plan

Maintenant que tu sais ce qu'est un vecteur, voyons comment représenter un vecteur dans le plan. C'est super important pour bien visualiser ce qu'on fait. Pour représenter un vecteur, il te faut déjà un système de coordonnées, comme un repère orthonormé (avec un axe des x et un axe des y qui se croisent à angle droit). Si tu as deux points, disons A de coordonnées $(x_A, y_A)$ et B de coordonnées $(x_B, y_B)$, le vecteur $\vec{AB}$ est défini par ses coordonnées. Pour trouver ces coordonnées, c'est tout simple : tu fais la différence entre les coordonnées de l'extrémité (B) et celles de l'origine (A). Donc, le vecteur $\vec{AB}$ aura pour coordonnées $(x_B - x_A, y_B - y_A)$. On appelle ça les composantes du vecteur. Par exemple, si A a pour coordonnées (1, 2) et B a pour coordonnées (4, 6), alors le vecteur $\vec{AB}$ aura pour coordonnées $(4-1, 6-2)$, c'est-à-dire $(3, 4)$. Ça veut dire que pour passer de A à B, tu te déplaces de 3 unités vers la droite (sur l'axe des x) et de 4 unités vers le haut (sur l'axe des y). C'est comme ça qu'on décompose un déplacement complexe en mouvements plus simples le long des axes. Visuellement, tu peux représenter ce vecteur en partant du point A et en traçant une flèche jusqu'au point B. Ou alors, tu peux représenter un vecteur équivalent (c'est-à-dire qui a la même direction, le même sens et la même norme) en partant de l'origine (0, 0) et en allant jusqu'au point de coordonnées (3, 4). C'est très pratique pour comparer des vecteurs ou pour faire des opérations. La norme (ou longueur) d'un vecteur $\vec{u} = (u_x, u_y)$ se calcule aussi très facilement grâce au théorème de Pythagore : c'est $\sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. Pour notre exemple $\vec{AB} = (3, 4)$, la norme est $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Donc, la distance entre A et B est de 5 unités. Savoir représenter et calculer les coordonnées d'un vecteur, c'est la première étape pour maîtriser ces outils mathématiques. N'hésite pas à faire plein d'exemples pour bien t'entraîner !

Opérations avec des Vecteurs

Une fois qu'on a compris ce que sont les vecteurs et comment on les représente, le truc cool, c'est qu'on peut faire des opérations avec eux, un peu comme avec des nombres. Les deux opérations les plus importantes, ce sont l'addition et la multiplication par un scalaire (un nombre tout bête).

Addition de Vecteurs : Le Point Clé !

L'addition de deux vecteurs est super importante et il y a deux façons principales de la comprendre : géométriquement et par coordonnées. Géométriquement, si tu veux additionner le vecteur $\vec{u}$ et le vecteur $\vec{v}$, tu peux utiliser la règle du triangle ou la règle du parallélogramme. Pour la règle du triangle, tu places l'origine du vecteur $\vec{v}$ à l'extrémité du vecteur $\vec{u}$. Le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ est alors le vecteur qui part de l'origine de $\vec{u}$ et qui arrive à l'extrémité de $\vec{v}$. Imagine que tu marches d'abord de A à B ($\vec{AB}$) puis de B à C ($\vec{BC}$). Ton déplacement total, c'est de A à C ($\vec{AC}$). Donc, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. C'est la règle du triangle. La règle du parallélogramme, elle, est utile quand les deux vecteurs partent du même point. Si tu as deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ qui partent d'un point O, tu complètes un parallélogramme en utilisant $\vec{u}$ et $\vec{v}$ comme deux côtés adjacents. Le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ est alors la diagonale de ce parallélogramme qui part de O. C'est la même chose que la règle du triangle, mais vue différemment. Par coordonnées, c'est encore plus simple ! Si tu as $\vec{u} = (u_x, u_y)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y)$, alors $\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)$. Tu additionnes juste les composantes correspondantes. C'est super pratique pour les calculs. Par exemple, si $\vec{u} = (2, 3)$ et $\vec{v} = (1, -1)$, alors $\vec{u} + \vec{v} = (2+1, 3+(-1)) = (3, 2)$. C'est comme si tu additionnais les déplacements : un déplacement de 2 vers la droite et 3 vers le haut, suivi d'un déplacement de 1 vers la droite et 1 vers le bas, te donne un déplacement total de 3 vers la droite et 2 vers le haut. L'addition de vecteurs est commutative ($\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$) et associative ($\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$), ce qui veut dire que l'ordre dans lequel tu additionnes ne change pas le résultat. Ça rend les choses encore plus faciles !

Soustraction de Vecteurs : L'Inverse du Jeu

La soustraction de vecteurs est assez simple quand on a compris l'addition. Soustraire un vecteur $\vec{v}$ à un vecteur $\vec{u}$, c'est comme additionner l'opposé de $\vec{v}$ à $\vec{u}$. L'opposé d'un vecteur $\vec{v}$, noté $-\vec{v}$, est le vecteur qui a la même direction et la même norme que $\vec{v}$, mais un sens opposé. Si $\vec{v} = (v_x, v_y)$, alors $-\vec{v} = (-v_x, -v_y)$. Donc, pour faire $\vec{u} - \vec{v}$, tu fais simplement $\vec{u} + (-\vec{v})$. Par coordonnées, si $\vec{u} = (u_x, u_y)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y)$, alors $\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)$. Tu soustrais juste les composantes correspondantes. Par exemple, si $\vec{u} = (5, 2)$ et $\vec{v} = (3, 4)$, alors $\vec{u} - \vec{v} = (5-3, 2-4) = (2, -2)$. Géométriquement, si tu veux trouver le vecteur $\vec{AB} - \vec{AC}$, c'est égal à $\vec{AB} + (-\vec{AC})$. Et comme $-\vec{AC} = \vec{CA}$, ça te donne $\vec{AB} + \vec{CA}$. En appliquant la règle du triangle, $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$. Donc, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$. Ça peut paraître un peu tordu au début, mais pense-y comme ça : si $\vec{u}$ représente ton déplacement de O vers U, et $\vec{v}$ représente ton déplacement de O vers V, alors $\vec{u} - \vec{v}$ représente le déplacement de V vers U. C'est le vecteur qui te permet d'aller de l'extrémité de $\vec{v}$ à l'extrémité de $\vec{u}$ tout en restant dans le même plan et en partant du même point d'origine. La soustraction est fondamentale pour des concepts comme le calcul de vecteurs reliant deux points spécifiques dans un graphique ou pour définir des vecteurs directeurs dans des équations de droite, des sujets que tu rencontreras bientôt. C'est une manipulation essentielle qui te permet de passer d'une perspective à une autre, d'une position à une autre, en exprimant la différence comme un déplacement unique. C'est puissant !

Multiplication par un Scalaire : Étirer ou Raccourcir

La dernière opération qu'on va voir, c'est la multiplication d'un vecteur par un nombre. Ce nombre, on l'appelle un scalaire (parce que c'est juste un nombre, sans direction). Quand tu multiplies un vecteur $\vec{u}$ par un scalaire $k$, tu obtiens un nouveau vecteur, noté $k\vec{u}$. Ce nouveau vecteur a la même direction que $\vec{u}$. Son sens dépend du signe de $k$. Si $k$ est positif, le sens est le même que $\vec{u}$. Si $k$ est négatif, le sens est opposé. Sa norme est multipliée par la valeur absolue de $k$ (c'est-à-dire $|k|$). Donc, si $\vec{u} = (u_x, u_y)$, alors $k\vec{u} = (k imes u_x, k imes u_y)$. Tu multiplies juste chaque composante du vecteur par le scalaire. Par exemple, si $\vec{u} = (2, 3)$ et $k = 3$, alors $3\vec{u} = (3 imes 2, 3 imes 3) = (6, 9)$. Le vecteur $3\vec{u}$ est trois fois plus long que $\vec{u}$ et pointe dans la même direction. Si $k = -2$, alors $-2\vec{u} = (-2 imes 2, -2 imes 3) = (-4, -6)$. Ce vecteur est deux fois plus long que $\vec{u}$ mais pointe dans la direction opposée. Si $k = 0$, alors $0\vec{u}$ est le vecteur nul (0, 0). Un cas particulier super important : si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tels que $\vec{v} = k\vec{u}$ pour un certain scalaire $k$, alors on dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Ça veut dire qu'ils sont parallèles (ils ont la même direction, même si le sens peut être opposé). C'est une notion clé en géométrie pour savoir si des points sont alignés ou si des droites sont parallèles. Cette opération te permet d'étirer, de raccourcir, ou d'inverser la direction d'un vecteur. C'est comme ajuster le zoom ou le sens d'une flèche. C'est super utile pour de nombreuses démonstrations et calculs en géométrie et en physique.

Propriétés Importantes et Applications

Les vecteurs ne sont pas juste des outils pour faire des calculs ; ils ont des propriétés super intéressantes qui te permettent de résoudre des problèmes complexes. Comprendre ces propriétés, c'est comme avoir des super-pouvoirs en maths.

Vecteurs Colinéaires : Les Copains Parallèles

On a effleuré le sujet avec la multiplication par un scalaire, mais parlons plus sérieusement des vecteurs colinéaires. Comme on l'a dit, deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ (un scalaire) tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Géométriquement, ça signifie qu'ils ont la même direction, donc ils sont parallèles. Si $k > 0$, ils ont le même sens. Si $k < 0$, ils ont des sens opposés. Si $k = 1$, alors $\vec{v} = \vec{u}$ (ils sont identiques). Si $k = -1$, alors $\vec{v} = -\vec{u}$ (ils sont opposés). L'intérêt principal de la colinéarité, c'est qu'elle te permet de vérifier si des points sont alignés. Par exemple, pour savoir si trois points A, B, et C sont alignés, tu peux regarder si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. S'il existe un $k$ tel que $\vec{AC} = k\vec{AB}$, alors les trois points sont sur la même droite. Par coordonnées, c'est facile à vérifier : si $\vec{u} = (u_x, u_y)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y)$, ils sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $v_x = k imes u_x$ et $v_y = k imes u_y$. Une autre façon de le dire, c'est que leurs coordonnées sont proportionnelles. Par exemple, si $\vec{u} = (2, 4)$ et $\vec{v} = (3, 6)$, ils sont colinéaires car $3 = 1.5 imes 2$ et $6 = 1.5 imes 4$. Le scalaire $k$ est 1.5. Donc $\vec{v} = 1.5 \vec{u}$. Si tu as $\vec{AB} = (3, 6)$ et $\vec{AC} = (1.5, 3)$, tu vois que $\vec{AC} = 0.5 \vec{AB}$. Les points A, B, C sont donc alignés. La colinéarité est aussi utilisée pour vérifier si des droites sont parallèles : deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. C'est une notion qui revient sans cesse, alors assure-toi de bien la maîtriser.

Chasles et Manipulation d'Expressions

La relation de Chasles est un outil puissant pour manipuler des expressions vectorielles. Elle dit que pour trois points quelconques A, B, et C, on a toujours $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. On l'a déjà vue avec l'addition, mais c'est bien plus qu'une simple addition. Elle te permet de décomposer ou de recomposer des vecteurs. Par exemple, si tu veux simplifier une expression comme $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$, tu peux utiliser Chasles deux fois : $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$. La relation de Chasles te permet de relier des points qui ne sont pas directement connectés dans l'expression initiale. Ça sert aussi pour les soustractions. Rappelle-toi que $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$. En utilisant Chasles, on peut réécrire $\vec{AB} - \vec{AC}$ comme $\vec{AB} + (-\vec{AC})$. Et comme $-\vec{AC} = \vec{CA}$, on obtient $\vec{AB} + \vec{CA}$. En appliquant à nouveau Chasles, on a $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$. C'est une démonstration formelle de ce qu'on avait vu. La relation de Chasles est essentielle pour simplifier des sommes ou des différences de vecteurs, pour prouver des égalités vectorielles, ou pour exprimer un vecteur en fonction d'autres. C'est un peu comme les règles d'algèbre pour les nombres, mais pour les vecteurs. Quand tu rencontres une expression avec plein de vecteurs, pense à Chasles. Cherche des points qui se suivent (une extrémité est l'origine du suivant) pour les combiner, ou des points qui sont